El misterio de las matemáticas
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Las matemáticas siempre han guardado secretos que, para muchos profanos, resultan difíciles de entender. En cierta medida, estas paradojas determinan afirmaciones o razonamientos que nos llevan a contradicciones, ya sean reales o aparentes. La palabra “paradoja” proviene del griego (“para” y “doxos”) y significa, etimológicamente, “más allá de lo creíble”.
Desde la antigüedad, existen multitud de paradojas, algunas de ellas basadas en ciertas contradicciones que nos hacen reflexionar sobre razonamientos matemáticos y geométricos que bien podrían ser equivocados.
Hoy hablaré de dos de las más enigmáticas.
En primer lugar, tenemos la paradoja basada en la confusión que puede surgir debido a una apariencia engañosa del movimiento. Esta es la paradoja de los rodillos rodantes. Imagina que ubicamos tres rodillos circulares, cada uno con una circunferencia de 30 cm, y todos ellos soportan una plancha superior. Estos rodillos avanzan lo suficiente para dar una vuelta completa. La pregunta es: ¿qué distancia habrá recorrido la plancha superior?
A simple vista, podríamos pensar que la distancia sería igual a la circunferencia de los rodillos, dado que solo han dado una vuelta completa. Lamentablemente, estaríamos equivocados. La realidad es que al avance de la plancha debemos sumarle el propio avance de los rodillos. Es decir, sorprendentemente la distancia total será de 60 cm.
La paradoja de las ruedas de Aristóteles
Otra de las paradojas de índole geométrica que dejó atónito incluso al propio Aristóteles, y que muchos autores atribuyen a él, es la paradoja de las ruedas de Aristóteles. Esta paradoja se describe en el problema número 24 del libro Mecánica, perteneciente al Corpus Aristotélico. Posteriormente, fue analizada por Galileo en su obra Discorsi de 1638. Es una paradoja que no deja de ser intrigante.
Aristóteles dibujó dos círculos concéntricos: uno más grande y otro más pequeño. El círculo grande es tangente a una superficie horizontal y puede rodar sobre ella. El círculo pequeño tiene el mismo centro que el círculo mayor y está rígidamente fijado a él. Ambos círculos ruedan sin deslizarse para dar una vuelta completa. Aquí está la paradoja: ambos círculos recorren la misma distancia, pero lógicamente, la distancia para el círculo más grande es igual a la longitud de su circunferencia, mientras que la distancia para el círculo más pequeño es más larga que su circunferencia.
La clave está en que el círculo más pequeño, aunque rueda junto con el grande, también gira alrededor de su propio centro. Esto hace que su trayectoria sea más larga que su circunferencia.
La paradoja nos muestra la aparente contradicción de cómo dos círculos que parecen recorrer la misma distancia pueden tener longitudes de trayectoria diferentes.
A lo largo de la historia, matemáticos y geómetras han propuesto diferentes soluciones para esta paradoja, desde Galileo hasta Bernard Bolzano, un matemático del siglo XIX. Sin embargo, no existe un consenso generalizado para la resolución del problema.
Estos enigmas matemáticos y geométricos nos demuestran cómo las apariencias pueden resultar engañosas y cómo, en ocasiones, la geometría nos sorprende con situaciones en principio insospechadas.
Jaime de Oleza
Arquitecto
15.07.2024